大开眼界，“一网打尽”数学中，所有“最”重要的定理和难题

数学中有成千上万的定理与猜想，但只有少数几个被视为根本而基本的。有些已经被证明，另一些仍在等待它们的解答。让我们来看看其中有哪些。

巴拿赫-塔尔斯基悖论

巴拿赫-塔尔斯基悖论声称，在三维空间中，一个实心球可以被分割成有限个互不重叠的部分，然后仅通过旋转和平移，就能重新组合成两个与原球完全相同的球体。当然，这一悖论背后涉及大量数学内容，但这就是它的核心。

这一悖论已被数学证明成立，但它依赖于选择公理。所涉及的那些部分是高度不可构造的，它们碎裂得如此极端，以至于无法明确描述，亦无法在物理上实现。

三体问题

三体问题提出的问题是：已知三个天体的初始位置和速度，它们在彼此的万有引力作用下将如何运动？

这个问题说起来简单，解起来却极其复杂。一般而言，牛顿定律给出了物体在引力作用下相互影响的精确方程。对于两个物体，我们会得到椭圆轨道。但一旦引入第三个物体，情况就变得混乱得多。它们的轨迹可能彼此缠绕、交换能量，并在长期行为上变得无法用公式预测。

庞加莱在19世纪90年代证明，这个问题没有一般性的解析解，也就是说不存在简单公式来描述所有解。这是后来被称为混沌理论的最早迹象之一。三体系统的运动对初始条件极其敏感。

ABC猜想

ABC猜想于1985年提出。粗略地说，它指出：如果三个整数 a、b、c 满足 a + b = c，且这三个数彼此之间没有任何公因子，同时每个数含有很多重复的质因数，那么 c 通常不会比所有出现在 a、b、c 中的质数的乘积大太多。

这个质数乘积被称为 ABC 的“根”（radical）。所谓 radical，就是将所有不重复的质因数相乘，不考虑它们的指数。例如：

猜想表述为：

若 a + b = c，且 a、b、c 两两互素，那么

其中 Kε 是与 ε 相关的常数

这个猜想可以解释为何像 xⁿ + yⁿ = zⁿ 这类方程几乎没有所有数互素的整数解。

尽管有一位名叫望月新一（Shinichi Mochizuki）的数学家声称他已用一种他称为“宇宙际泰克理论”（Inter-universal Teichmüller Theory）的复杂理论证明了 ABC 猜想，但这一成果至今仍未获得广泛验证，甚至难以被同行理解。

阿蒂亚–辛格指数定理

这个定理关注的是椭圆型线性偏微分方程的解的存在性与唯一性。

来看两个非常相似的方程：

它们之间只差一个 i系数，却有完全不同的行为。

第一个方程：任何形如 f(x, y) = g(x − y) 的函数都是其解；

而第二个方程，仅有常数且有界的函数才是其解，这是由刘维尔定理（Liouville’s Theorem）所决定的。

这种差异来自方程的“符号函数”（symbol），符号函数是将偏导数形式中的导数符号用变量（例如 iξ 与 iη）替换后得到的多项式。

这两个方程的符号函数分别为：iξ + iη 与 iξ − η。

一个偏微分方程被称为“椭圆型”的条件是：其符号函数仅在所有变量都为零时才为零。换句话说，即符号函数的零点是唯一的原点。

伯奇–斯温纳顿-戴尔猜想（Birch–Swinnerton-Dyer 猜想）

这个猜想试图揭示某类方程的有理数解的数量，这类方程被称为椭圆曲线。问题是：某条椭圆曲线有多少个有理解，也就是分数或整数解？

猜想指出，这个数量与该椭圆曲线的 L-函数之间有深刻联系，这个函数的形式如下：

比如考虑方程：y² = x³ − x

这条曲线有无限多个有理数解。按照该猜想，这是因为 L-函数在某个关键点 s = 1 处为零。

换句话说，L-函数在 s = 1 处为零，是该曲线拥有如此多有理解的猜想性原因。

尽管这一猜想有大量证据支持，但仍未被证明，因此成为七个“千禧年难题”之一。任何人只要证明它，就能获得一百万美元的奖金。

卡尔松定理（Carleson’s Theorem）

卡尔松定理回答了一个关于傅里叶级数的基本问题——傅里叶级数是一种将函数表示为正弦与余弦波之和的方法。问题是：如果一个函数是平方可积的（也就是说，它属于 L² 空间），那么它的傅里叶级数是否几乎处处都收敛于原函数？

这个问题悬而未解将近一个世纪，直到1966年被证明：是的，任何 L² 函数的傅里叶级数几乎处处都收敛于它自身。

最终的结论是：尽管会出现吉布斯现象（Gibbs overshoot）和其他复杂性，这些傅里叶近似仍然在“几乎处处”的意义下点态收敛。

柯西定理（Cauchy’s Theorem）

复分析中的柯西定理指出：如果一个函数在某个闭合曲线内部及其上都是复可微的（也就是全纯的），那么这个函数沿着该闭合曲线的积分为零。

中心极限定理（Central Limit Theorem）

这个定理指出：如果我们取一列独立同分布的随机变量，且它们的均值 μ 和方差 σ² 都是有限的，那么这些变量的标准化和，会随着样本数 n 趋近无穷，收敛于标准正态分布。

换句话说：即使原始数据不呈现钟形分布，但只要样本数量足够大，它们的和或平均值最终会趋近于钟形分布。

有限单群的分类定理（The Classification of Finite Simple Groups）

这个分类定理属于群论领域，它完成了对所有有限单群的分类。有限单群被认为是所有有限群的“构件单元”，就像质数之于整数。

定理指出：所有有限单群都属于以下四类之一：

素阶循环群（cyclic groups of prime order）交错群（alternating groups）李型群（groups of Lie type）以及 26 个特殊的例外群，被称为“零星群”（sporadic groups）

这项证明工程庞大，耗时数十年，动员了数百位数学家，总计撰写了数万页的论文。

狄利克雷定理（Dirichlet’s Theorem）

狄利克雷在19世纪证明的算术级数定理指出：若正整数 a 与 d 互素，则算术序列 a, a+d, a+2d,... 中包含无穷多个质数。

遍历定理（Ergodic Theorems）

这些定理在20世纪初发展起来，研究的是动力系统的长期行为。基本思想是：观察一个系统随时间演化的轨迹（例如箱子中气体分子的运动），与在某一固定时刻对系统所有可能状态的平均进行比较，在特定条件下，两种平均值是相等的。

费马大定理（Fermat’s Last Theorem）

费马大定理断言：不存在满足 xⁿ + yⁿ = zⁿ 的正整数解，当整数 n 大于 2 时。

虽然费马声称自己找到了这个定理的证明，但他的书信和笔记中都未曾留下证据。这一问题悬而未决达350年，直到1994年，安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）借助远远超出费马时代的数学工具才得以证明这一命题。

不动点定理（Fixed Point Theorems）

这些定理声称：在某些条件下，一个函数总会有至少一个“不动点”，即映射后仍在原处的点。

最著名的版本是布劳威尔不动点定理（Brouwers Fixed Point Theorem），它指出：任何从一个封闭圆盘（或球体）映射到自身的连续函数，都至少有一个不动点。

比如你搅动一杯咖啡，总有一滴液体会回到它原来的位置。

四色定理（Four Color Theorem）

该定理断言：在一个平面上或球面上绘制的任意地图，最多只需要四种颜色就能进行着色，使得没有两个相邻区域具有相同的颜色。

四色问题最初是在19世纪提出的，但令人意外的是，它长时间未能被证明。

直到1976年，肯尼斯·阿佩尔（Kenneth Appel）与沃尔夫冈·哈肯（Wolfgang Haken）首次利用计算机辅助方法完成了它的证明。由于需要检查超过一千种特殊情况，计算机成为不可或缺的工具。这也是历史上首批必须依赖计算机验证的数学定理之一。

代数学基本定理（Fundamental Theorem of Algebra）

该定理表明：任意一个次数为 n 的多项式方程在复数域中都有恰好 n 个复根。

例如，考虑简单的多项式 z² + 1：它在实数域中没有解，但在复数域中有两个解：±i。

这表明，为了解多项式方程，我们无需超越复数的范畴，复数域已经“完备”。

算术基本定理（Fundamental Theorem of Arithmetic）

该定理指出：除了 1 以外的每个正整数都能唯一地分解为若干个质数的乘积。唯一性仅体现在质因数的组合，不考虑它们出现的顺序。

微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）

简要来说，该定理揭示了积分与微分之间互为逆过程的关系。

更精确地说，对于某函数 f(x)，其在区间 [a, b] 上的定积分，等于该函数一个原函数在 b 与 a 处的差值：

其中 F(x) 是 f(x) 的一个原函数。

哥德尔不完全性定理（Gödel’s Incompleteness Theorem）

哥德尔的第一不完全性定理指出：在任何一个一致且足够强大，能表达基本算术的形式系统中，总存在一些命题，它们在该系统内既无法被证明，也无法被否定。

哥德巴赫猜想（Goldbach Conjecture）

这是数论中最古老的未解问题之一。它提出：每个大于 2 的偶数都可以写成两个质数之和。

尽管迄今为止没人找到反例，计算机也已验证了极大的数值范围，但该猜想至今仍无通用性证明。

格罗莫夫多项式增长定理（Gromov’s Polynomial Growth Theorem）

该定理断言：如果一个群的增长是多项式型的——即用至多 n 个生成元所能生成的元素数量随 n 增长为一个多项式函数——那么这个群是“几乎幂零”的（virtually nilpotent）。

许多群（如自由群）的增长是指数级的，而本定理界定了多项式增长群的结构。

希尔伯特零点定理（Hilbert’s Nullstellensatz）

在德语中意为“零点集合定理”。该定理指出：如果一组多项式有共同的零点，那么这些零点构成一个代数簇，即某个理想的零点集。

换言之，在某个理想中进行多项式组合（如 f + g）不会改变函数消失的点集，它们仍属于同一零点集合。

连续统假设的独立性（Independence of the Continuum Hypothesis）

连续统假设问：是否存在某个集合，其基数大小严格介于自然数集的基数与实数集的基数之间？

至今没人知道答案是什么。哥德尔与科恩分别证明了它在 ZFC 公理体系下既无法被证明，也无法被否定，因此该命题是独立的。

不等式（Inequalities）

数学中一些最重要且经常使用的不等式包括柯西-施瓦茨不等式（Cauchy–Schwarz）、赫尔德不等式（Hölder）、詹森不等式（Jensen），以及切比雪夫不等式（Chebyshev）。

它们的主要作用是在无法计算精确答案时，用于估计或界定值域范围。

停机问题的不可解性（Insolubility of the Halting Problem）

停机问题问：是否存在一个通用算法，能够判断任意计算机程序和任意输入，在该输入下程序是否最终会停止运行？

艾伦·图灵于1936年证明：这样的算法不存在。换句话说，这个问题是不可判定的，即不存在有限一致的方法能在所有情形下正确地回答这个问题。

五次方程不可解性（Insolubility of the Quintic）

一元二次、三次、四次多项式都有通用求根公式，但五次及更高次的多项式不存在用根式（radicals）表示通解的普遍公式。

19世纪，鲁菲尼（Ruffini）、阿贝尔（Abel）与伽罗瓦（Galois）等人证明：一般五次方程无法用根式解。这一成果也推动了伽罗瓦理论的诞生。

刘维尔定理与罗斯定理（Liouvilles Theorem and Roth’s Theorem）

刘维尔定理表明：某些数无法被有理数很好地逼近。具体而言，如果 α 是一个代数数，其次数 d ≥ 2，那么存在一个常数 c 0，使得对于所有有理数 p/q，下面这个不等式总成立：

这一定理给出了首批超越数的构造方法。

而罗斯（Klaus Roth）则在此基础上进一步推进。他证明：对于任意代数有理数 α，任意 ε 0，只有有限多个有理数 p/q 满足：

这说明代数数无法被有理数“太好地”逼近。罗斯定理在理论上达到了这个问题的最优结果，也因此他获得了菲尔兹奖。

（简言之，代数数总是“回避”被非常精确的分数近似。）

莫斯托强刚性定理（Mostows Strong Rigidity Theorem）

该定理指出，在维数大于2的情形下，一个空间的几何结构是由其基本群（fundamental group）完全决定的，至少在负曲率空间（如双曲流形）中是如此。

更准确地说：如果两个紧致的 n 维双曲流形（n ≥ 3）有同构的基本群，那么它们是等距的——也就是说，它们之间存在一个保持距离不变的映射。

这一点相当令人惊讶，因为在二维情况下，例如黎曼曲面中，即便拓扑结构相同，仍可拥有许多不同的几何结构（也就是模空间非常丰富）。但在三维及以上维度中，这种灵活性突然“刚性化”了。

P = NP 问题（The P vs NP Problem）

P vs NP 问题探讨的是：所有可以在多项式时间内验证其解的计算问题，是否也能在多项式时间内求解？核心问题是：验证一个答案是否比找到这个答案更容易吗？换句话说，是否 P = NP？

这是理论计算机科学与数学中最重要的未解难题之一，目前尚无解答。

庞加莱猜想（Poincaré Conjecture）

简单来说：如果一个三维空间没有“洞”，而空间中的每个闭合环都可以连续收缩成一点，那么这个空间就与三维球面本质相同。

更正式的说法是：任何封闭的、三维的、单连通流形都同胚于三维球面 S³。

庞加莱在1904年提出了这个猜想，它成为数学界最著名的难题之一，长时间未解。

直到2003年，格里高利·佩雷尔曼（Grigori Perelman）运用理查德·汉密尔顿（Richard Hamilton）提出的 Ricci 流（Ricci flow）方法，终于完成了证明。佩雷尔曼因其成就获得了菲尔兹奖和“千禧年大奖”，但他拒绝了这两个奖项。

素数定理与黎曼猜想（The Prime Number Theorem and the Riemann Hypothesis）

我们可以问：1 到 n 之间有多少个质数？

最自然的做法是定义 π(n) 为不超过 n 的质数个数，然后寻找一个表达 π(n) 的公式。但众所周知，质数并无明显规律，甚至我们都不确定是否存在这样的精确公式。

数学家采取的标准策略是寻找良好的“估计”。素数定理就提供了这样一个估计：当 n 趋近无穷大时，π(n) 近似于 n / ln(n)。

这表明，虽然质数随着数字增大而变得稀疏，但这种变稀是有规律的，并且受对数函数的精确控制。

这又引出了一个更深的问题：这个估计有多精确？

这就涉及到了黎曼猜想（Riemann Hypothesis）：猜想中指出，黎曼ζ函数（Zeta function）的所有“非平凡零点”都位于复平面上实部为 1/2 的垂直线上。

如果这个猜想被证明，它将为素数定理中的误差项提供严格界限。这也是数学中最重要的未解难题之一。

加法数论中的问题与结果（Problems and Results in Additive Number Theory）

以下是数论中三个著名的未解问题：

是否每个大于 4 的偶数都能写成两个奇质数之和？（即哥德巴赫猜想）是否存在无穷多个孪生质数对（即差为 2 的质数对）？（即孪生素数猜想）是否每个足够大的正整数都可以写成四个立方数的和？（即沃林问题的一个特例）

这些问题至今悬而未解，是加法数论领域中最引人瞩目的难题。

从二次互反律到类域论（From Quadratic Reciprocity to Class Field Theory）

高斯发现的二次互反律（Law of Quadratic Reciprocity）是数论中最早的深刻定律之一。它揭示了一个对称性的关系：我们可以通过比较两个质数 p 和 q，来判断关于模 p 的一个二次同余方程是否在 q 下有解，反之亦然。

换句话说：判断方程 x^2≡ p mod q是否有解，可以转化为判断另一个看似无关的问题。这种对称性令人惊奇。

数学家们随后探索了更高次数的同余方程，发现类似的规律依旧存在，但变得更加复杂且抽象。这最终引向了类域论（Class Field Theory）的诞生——这是研究阿贝尔扩张（也就是交换性的数域扩张）的一门理论。

类域论的核心观点是：不再用单个数来表达互反律，而是引入了“理想类”（ideal classes）与“伽罗瓦群”（Galois groups）来揭示数域扩张之间的结构性规律。

类域论是现代代数数论的基石之一，它将早期的局部规律整合为一种全局的对称结构。

代数曲线上的有理点与莫迪尔猜想（Rational Points on Curves and the Mordell Conjecture）

在研究二元多项式方程的解时，我们通常将其视为定义了一条“曲线”。一个核心问题是：这样一条曲线上有多少个“有理点”，即 x 与 y 都为有理数的解？

答案强烈依赖于曲线的“亏格”（genus），也就是它的复杂程度，比如它有多少个“洞”：

亏格为 0 的曲线要么没有有理点，要么有无穷多个；亏格为 1 的曲线（例如椭圆曲线）上的有理点组成一个有限生成的阿贝尔群；当亏格大于等于 2 时，情况就截然不同：曲线上仅存在有限多个有理点。

这个结果就是著名的莫迪尔猜想（Mordell Conjecture），后由法尔廷斯（Faltings）在1983年成功证明，是现代代数几何与数论融合的重要成果。

奇点解析（The Resolution of Singularities）

在代数几何中，一个奇点是指某个代数簇上的“异常点”——即该点处不光滑，可能有尖点、自交点等。

“解析奇点”指的是通过一系列几何操作，将含有奇点的对象转化为光滑对象的过程。

主定理指出：对于特征为零的域（如实数域或复数域）上的任意代数簇，都存在一个奇点解析，也就是说，可以通过代数几何中的合法手段将其平滑化。这是现代代数几何中的基础工具之一。

黎曼–罗赫定理（The Riemann–Roch Theorem）

该定理告诉我们，在一条曲线上，具有给定零点与极点（即除法器）的亚纯函数（meromorphic function）的数量，可以仅凭这条曲线的亏格（genus）和除法器的次数（degree）来计算。

这个定理将函数的存在性与拓扑结构（如亏格）之间建立了深刻联系，是代数几何的核心支柱之一。

罗伯逊–西摩尔定理（The Robertson–Seymour Theorem）

该定理指出：在所有有限图的集合中，图在“图的子图-删边-缩边”的意义下是良序的（well-quasi-ordered）。

通俗地说，在任何一个无限的图序列中，总可以找到一个图是序列中某个更晚图的“次图”或“图的次结构”。

这个结果在结构图论和算法理论中具有深远意义，是图论中最深刻的成果之一。

瑟斯顿几何化猜想（Thurston’s Geometrization Conjecture）

瑟斯顿提出，这个世界上每一个封闭的三维流形都可以分解成若干块，每一块都携带着一种来自八种可能几何结构之一的“标准形态”。

这就像是在说：尽管三维空间可能被扭曲得很复杂，但每一部分都在某种“标准模板”的范畴内。

这一猜想后来由佩雷尔曼在解决庞加莱猜想的过程中一并完成，因此瑟斯顿猜想也因此被视为“已经被证明”。

一致化定理（The Uniformization Theorem）

一致化定理指出：每一个单连通的黎曼曲面，在共形等价（即保持角度结构的变换）意义下，必与以下三者之一完全等价：

单位圆盘（Poincaré圆盘）复平面黎曼球面

这是黎曼面分类与复几何基础中的核心定理之一。

韦尔猜想（The Weil Conjectures）

这是最难以简要总结的一部分，但我尽力：

1940年代，安德烈·韦尔（André Weil）提出了一组猜想，它们旨在揭示有限域上代数簇的点数与其几何性质之间的深刻联系。

具体地说，对于定义在有限域上的代数簇 V，我们构造出它的 ζ-函数：

韦尔猜测该函数具有以下四个性质：

有理性：ζ-函数是有理函数；对称性：它满足形如的对称关系，因式分解：ζ-函数可以写成若干个与贝蒂数相关的多项式乘积；零点与极点的位置：这些点都位于特定的“临界直线”上，类似于复ζ函数的黎曼猜想。

这些猜想在几十年内陆续被证明，它们推动了现代同调理论与代数几何的深远发展。德利涅（Deligne）在1970年代完成了最深刻部分的证明，成为代数几何里程碑式的胜利。